Статика и динамика сложных систем

Программа курса: 

 

п/п

Разделы и темы лекционных занятий

Содержание

 
 

1

Содержательные задачи системостатики

Технические системы, игровые и экономические модели, примеры из биологии, химии, массового обслуживания.

 

2

Предмет системостатики

Общие постановки задач о существовании равновесия и его свойствах. Параметрические характеристики свойств системы. Задачи оптимизации. Игровые постановки задач. Бифуркации, катастрофы. Проблемы агрегирования и декомпозиции.

 

3

Теоремы существования и единственности

Теоремы о неподвижных точках (теорема Брауэра, общая идеология степени отображения, теория вращения векторных полей). Неподвижные точки многозначных отображений. Векторные поля в банаховых пространствах. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Положительные решения. К-системы. Статика гомогенных и гетеротонных систем.

 

 

4

Реакция систем на внешние воздействия.

Теория Р-систем. Градиентные системы. Деформационные методы. Теория бифуркаций и катастроф. Структурная устойчивость. Хвосты и струи. Лемма Морса. Классификация особых точек.

 

5

Термодинамика сложных систем.

Стохастическое агрегирование. Нелинейный закон больших чисел. Общие принципы стабилизации функций большого числа переменных. Приложения к системам массового обслуживания, изучению транспортных потоков и задач оптимизации больших размерностей.

 

6

Теория устойчивости

Устойчивость по Ляпунову. Первый и второй методы Ляпунова. Уравнение в вариациях. Обратные теоремы. Диссипативные системы. Устойчивость в целом. Автоколебания. Орбитальная устойчивость. Теория Флоке. Гетеротонные системы. Бифуркационные изменения динамических характеристик.

 

7

Недетерминированные системы

Модели коллективного поведения. Теоретико-игровые интерпретации. Экономические примеры. Системы с ограниченным межэлементным взаимодействием. Гомогенные и гетеротонные системы. Конусные методы исследования. Ансамбли динамических систем. Аналог второго метода Ляпунова. Теоремы о глобальной асимптотической устойчивости гетеротонных систем.

 

8

Нелинейные явления

Нелинейный маятник. Параметрический резонанс. Солитоны. Уравнение Кортвега – де Фриза (КдФ-уравнение). Уравнение синус-Гордона. Инвариантность дифференциальных уравнений. Группы Ли. Инфинитезимальные операторы. Интегрируемость. Методы размерности и подобия.

 

9

Аттракторы и хаос

Эргодичность и перемешивание. Адиабатические процессы. Аттракторы и фракталы. Странный аттрактор Лоренца. Итерирование функций. Циклы Шарковского. Турбулентность.

 

 

 

  1. Образовательные технологии

№ п/п

Вид занятия

Форма проведения занятий

Цель

1

лекция

изложение теоретического материала

получение теоретических знаний по дисциплине

2

лекция

изложение теоретического материала с помощью презентаций

повышение степени понимания материала

3

лекция

решение задач по заданию (индивидуальному где требуется) преподавателя– решаются задачи, выданные преподавателем по итогам лекционных занятий и сдаются в конце семестра, используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой, а также учебно-методические пособия

осознание связей между теорией и практикой, а также взаимозависимостей разных дисциплин

 

Перечень контрольных вопросов

1. Содержательные задачи системостатики. Примеры.

2. Общие постановки задач о существовании равновесия и его свойствах. Параметрические характеристики свойств системы.

3. Задачи оптимизации. Игровые постановки задач. Бифуркации, катастрофы.

4. Проблемы агрегирования и декомпозиции. Стохастическое агрегирование

5. Теоремы о неподвижных точках (теорема Брауэра, общая идеология степени отображения, теория вращения векторных полей).

6. Неподвижные точки многозначных отображений. Векторные поля в банаховых пространствах.

7. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Положительные решения. К-системы. Статика гомогенных и гетеротонных систем.

8. Теория Р-систем. Градиентные системы.

9. Деформационные методы. Теория бифуркаций и катастроф. Структурная устойчивость.

10.    Хвосты и струи. Лемма Морса. Классификация особых точек.

11.    Термодинамика сложных систем.

12.    Стохастическое агрегирование. Нелинейный закон больших чисел.

13.    Общие принципы стабилизации функций большого числа переменных. Приложения к системам массового обслуживания, изучению транспортных потоков и задач оптимизации больших размерностей.

14.    Содержательные задачи экономической динамики. Физические и технические задачи. Динамика биологических популяций. Модели «хищник – жертва».

15.    Игровые динамические модели.  Численные методы решения задач большой размерности. Иерархические системы. Методы усреднения.

16.    Устойчивость по Ляпунову. Первый и второй методы Ляпунова. Уравнение в вариациях. Обратные теоремы. Диссипативные системы.

17.    Устойчивость в целом. Автоколебания. Орбитальная устойчивость. Теория Флоке. Гетеротонные системы. Бифуркационные изменения динамических характеристик.

18.    Модели коллективного поведения. Теоретико-игровые интерпретации. Экономические примеры.

19.    Системы с ограниченным межэлементным взаимодействием. Гомогенные и гетеротонные системы.

20.    Ансамбли динамических систем. Аналог второго метода Ляпунова. Теоремы о глобальной асимптотической устойчивости гетеротонных систем.

21.    Нелинейный маятник. Параметрический резонанс. Солитоны.

22.    Уравнение Кортвега – де Фриза (КдФ-уравнение). Уравнение синус-Гордона.

23.    Инвариантность дифференциальных уравнений. Группы Ли. Инфинитезимальные операторы. Интегрируемость. Методы размерности и подобия.

24.    Эргодичность и перемешивание. Адиабатические процессы. Аттракторы и фракталы.

25.Странный аттрактор Лоренца. Итерирование функций. Периодичность Шарковского.

 

Список литературы: 

 

1.      В. Босс, Лекции по математике, том 1, Анализ, изд. 4-е, УРСС, М. 2012.

2.      В. Босс, Лекции по математике, том 2, Дифференциальные уравнения,изд. 2-е,   УРСС, М. 2009.

3.      В. Босс, Лекции по математике, том 7, Оптимизация,изд. 3-е,   УРСС, М. 2010.

4.      В. Босс, Лекции по математике, том 15, Нелинейные операторы и неподвижные точки,  УРСС, М. 2010.