Оптимальное управление в динамических системах

Преподаватели: 
Галяев А. А. (ИПУ РАН, Лаборатория 38)
Программа курса: 

 

№

п/п

Разделы и темы лекционных занятий

Содержание

  
 

1

Топологические линейные пространства, выпуклые множества и слабые топологии.

 

Теорема Хана-Банаха.

 

Топологические линейные пространства. Метрические пространства. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства. Важнейшие примеры банаховых и гильбертовых пространств.

 

 

Выпуклые множества. Функционал Минковского. Теоремы о продолжении линейного функционала. Теоремы отделимости для выпуклых множеств.

 

2

Опорные гиперплоскости и крайние точки.

 

 

Конусы, сопряженные конусы.

Теоремы существования опорных функционалов.  Теоремы о существовании крайних точек. Теорема Крейна-Мильмана.

 

 

Основные леммы о сопряженных конусах и теорема М.Г.Крейна. Лемма Дубовицкого-Милютина о пересечении выпуклых конусов.

 

3

Направления убывания, возможные направления, касательные направления.

 

 

Необходимые условия экстремума

Основные леммы о направлениях убывания функционалов, возможных направлений и касательных направлений.

 

 

 

 

 

Теорема Дубовицкого-Милютина о необходимых условиях экстремума. Уравнение Эйлера-Лагранжа.

 

4

Вычисление  конусов направлений убывания.

 

Вычисление  конусов возможных направлений.

 

 

Касательные направления.

Функционалы, дифференцируемые по направлению. Дифференцируемость по Фреше. Основные теоремы.

 

 

Аналитическое описание ограничений с помощью функционалов. Связь конусов направления убывания и возможных направлений.

 

 

Теорема Люстерника и ее геометрический смысл. Вычисление касательных подпространств для различных множеств.

 

5

Сопряженные конусы для подпространств.

 

Техника вычисления сопряженных конусов.

Основные леммы о сопряженных конусах. Теорема Минковского-Фаркаша.

 

 

 

Примеры вычисления сопряженных конусов для типовых конусов.

 

6

Задача на условный экстремум с ограничениями типа равенств.

 

Задача нелинейного программирования.

Основная теорема о необходимых условиях оптимальности.

 

 

 

 

Теорема Куна-Таккера и ее приложения. Задача линейного программирования.

 

7

Необходимые условия слабого экстремума.

 

 

 

Постановка задачи оптимизации. Анализ минимизируемого функционала и ограничений. Вывод уравнений Эйлера и их анализ. Принцип максимума. Связь с классическим вариационным исчислением.

 

8

Необходимые условия сильного экстремума.

Постановка задачи оптимизации. Разрывная замена времени и переход к вспомогательной задаче. Необходимые условия оптимальности во вспомогательной задаче. Обратная замена времени и принцип максимума Понтрягина для основной задачи оптимизации.

 

9

Особые управления.

 

 

Скользящие режимы.

Определение особых управлений. Приемы вычисления особых управлений. Примеры.

 

Определение скользящих режимов. Расширение задачи оптимального управления. Необходимые условия оптимальности в расширенной задаче. Примеры вычисления скользящих режимов.

 

 

 

Перечень контрольных вопросов.

1.      Топологические линейные пространства. Метрические пространства. Нормированные пространства. Примеры.

2.      Банаховы пространства. Гильбертовы пространства. Важнейшие примеры банаховых и гильбертовых пространств.

3.      Выпуклые множества. Функционал Минковского.

4.      Теоремы о продолжении линейного функционала.

5.      Теоремы отделимости для выпуклых множеств.

6.      Теоремы существования опорных функционалов.

7.      Теоремы о существовании крайних точек. Теорема Крейна-Мильмана.

8.      Основные леммы о сопряженных конусах и теорема М.Г.Крейна.

9.      Лемма Дубовицкого-Милютина о пересечении выпуклых конусов.

10.  Основные леммы о направлениях убывания функционалов, возможных направлений и касательных направлений.

11.  Теорема Дубовицкого-Милютина о необходимых условиях экстремума. Уравнение Эйлера-Лагранжа.

12.  Функционалы, дифференцируемые по направлению.

13.  Дифференцируемость по Фреше. Основные теоремы.

14.  Аналитическое описание ограничений с помощью функционалов. Связь конусов направления убывания и возможных направлений.

15.  Теорема Люстерника и ее геометрический смысл. Вычисление касательных подпространств для различных множеств.

16.  Основные леммы о сопряженных конусах. Теорема Минковского-Фаркаша.

17.  Примеры вычисления сопряженных конусов для типовых конусов.

18.  Задача на условный экстремум с ограничениями типа равенств.

19.  Теорема Куна-Таккера и ее приложения.

20.  Задача линейного программирования.

21.  Постановка задачи оптимального управления. Анализ минимизируемого функционала и ограничений

22.  Необходимые условия слабого экстремума в задаче оптимального управления.

23.  Вывод уравнений Эйлера и их анализ. Принцип максимума.

24.  Связь Принципа максимума с классическим вариационным исчислением.

25.  Необходимые условия сильного экстремума в задаче оптимального управления.

26.  Разрывная замена времени и переход к вспомогательной задаче. Необходимые условия оптимальности во вспомогательной задаче.

27.  Обратная замена времени и принцип максимума Понтрягина для основной задачи оптимизации.

28.  Определение особых управлений. Приемы вычисления особых управлений. Примеры.

29.  Определение скользящих режимов. Расширение задачи оптимального управления.

30.  Необходимые условия оптимальности в расширенной задаче. Примеры вычисления скользящих режимов.

Список литературы: 

 

            Основная литература.

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 2004.
  2. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Ижевск.: РХД, 2003.

            Дополнительная литература.

            Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005.