Статика и динамика сложных систем
№ п/п |
Разделы и темы лекционных занятий |
Содержание |
|
1 |
Содержательные задачи системостатики |
Технические системы, игровые и экономические модели, примеры из биологии, химии, массового обслуживания. |
|
2 |
Предмет системостатики |
Общие постановки задач о существовании равновесия и его свойствах. Параметрические характеристики свойств системы. Задачи оптимизации. Игровые постановки задач. Бифуркации, катастрофы. Проблемы агрегирования и декомпозиции. |
|
3 |
Теоремы существования и единственности |
Теоремы о неподвижных точках (теорема Брауэра, общая идеология степени отображения, теория вращения векторных полей). Неподвижные точки многозначных отображений. Векторные поля в банаховых пространствах. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Положительные решения. К-системы. Статика гомогенных и гетеротонных систем.
|
|
4 |
Реакция систем на внешние воздействия. |
Теория Р-систем. Градиентные системы. Деформационные методы. Теория бифуркаций и катастроф. Структурная устойчивость. Хвосты и струи. Лемма Морса. Классификация особых точек. |
|
5 |
Термодинамика сложных систем. |
Стохастическое агрегирование. Нелинейный закон больших чисел. Общие принципы стабилизации функций большого числа переменных. Приложения к системам массового обслуживания, изучению транспортных потоков и задач оптимизации больших размерностей. |
|
6 |
Теория устойчивости |
Устойчивость по Ляпунову. Первый и второй методы Ляпунова. Уравнение в вариациях. Обратные теоремы. Диссипативные системы. Устойчивость в целом. Автоколебания. Орбитальная устойчивость. Теория Флоке. Гетеротонные системы. Бифуркационные изменения динамических характеристик. |
|
7 |
Недетерминированные системы |
Модели коллективного поведения. Теоретико-игровые интерпретации. Экономические примеры. Системы с ограниченным межэлементным взаимодействием. Гомогенные и гетеротонные системы. Конусные методы исследования. Ансамбли динамических систем. Аналог второго метода Ляпунова. Теоремы о глобальной асимптотической устойчивости гетеротонных систем. |
|
8 |
Нелинейные явления |
Нелинейный маятник. Параметрический резонанс. Солитоны. Уравнение Кортвега – де Фриза (КдФ-уравнение). Уравнение синус-Гордона. Инвариантность дифференциальных уравнений. Группы Ли. Инфинитезимальные операторы. Интегрируемость. Методы размерности и подобия. |
|
9 |
Аттракторы и хаос |
Эргодичность и перемешивание. Адиабатические процессы. Аттракторы и фракталы. Странный аттрактор Лоренца. Итерирование функций. Циклы Шарковского. Турбулентность. |
|
- Образовательные технологии
№ п/п |
Вид занятия |
Форма проведения занятий |
Цель |
1 |
лекция |
изложение теоретического материала |
получение теоретических знаний по дисциплине |
2 |
лекция |
изложение теоретического материала с помощью презентаций |
повышение степени понимания материала |
3 |
лекция |
решение задач по заданию (индивидуальному где требуется) преподавателя– решаются задачи, выданные преподавателем по итогам лекционных занятий и сдаются в конце семестра, используются конспект (электронный) лекций, учебники, рекомендуемые данной программой, а также учебно-методические пособия |
осознание связей между теорией и практикой, а также взаимозависимостей разных дисциплин |
Перечень контрольных вопросов
1. Содержательные задачи системостатики. Примеры.
2. Общие постановки задач о существовании равновесия и его свойствах. Параметрические характеристики свойств системы.
3. Задачи оптимизации. Игровые постановки задач. Бифуркации, катастрофы.
4. Проблемы агрегирования и декомпозиции. Стохастическое агрегирование
5. Теоремы о неподвижных точках (теорема Брауэра, общая идеология степени отображения, теория вращения векторных полей).
6. Неподвижные точки многозначных отображений. Векторные поля в банаховых пространствах.
7. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Положительные решения. К-системы. Статика гомогенных и гетеротонных систем.
8. Теория Р-систем. Градиентные системы.
9. Деформационные методы. Теория бифуркаций и катастроф. Структурная устойчивость.
10. Хвосты и струи. Лемма Морса. Классификация особых точек.
11. Термодинамика сложных систем.
12. Стохастическое агрегирование. Нелинейный закон больших чисел.
13. Общие принципы стабилизации функций большого числа переменных. Приложения к системам массового обслуживания, изучению транспортных потоков и задач оптимизации больших размерностей.
14. Содержательные задачи экономической динамики. Физические и технические задачи. Динамика биологических популяций. Модели «хищник – жертва».
15. Игровые динамические модели. Численные методы решения задач большой размерности. Иерархические системы. Методы усреднения.
16. Устойчивость по Ляпунову. Первый и второй методы Ляпунова. Уравнение в вариациях. Обратные теоремы. Диссипативные системы.
17. Устойчивость в целом. Автоколебания. Орбитальная устойчивость. Теория Флоке. Гетеротонные системы. Бифуркационные изменения динамических характеристик.
18. Модели коллективного поведения. Теоретико-игровые интерпретации. Экономические примеры.
19. Системы с ограниченным межэлементным взаимодействием. Гомогенные и гетеротонные системы.
20. Ансамбли динамических систем. Аналог второго метода Ляпунова. Теоремы о глобальной асимптотической устойчивости гетеротонных систем.
21. Нелинейный маятник. Параметрический резонанс. Солитоны.
22. Уравнение Кортвега – де Фриза (КдФ-уравнение). Уравнение синус-Гордона.
23. Инвариантность дифференциальных уравнений. Группы Ли. Инфинитезимальные операторы. Интегрируемость. Методы размерности и подобия.
24. Эргодичность и перемешивание. Адиабатические процессы. Аттракторы и фракталы.
25.Странный аттрактор Лоренца. Итерирование функций. Периодичность Шарковского.
1. В. Босс, Лекции по математике, том 1, Анализ, изд. 4-е, УРСС, М. 2012.
2. В. Босс, Лекции по математике, том 2, Дифференциальные уравнения,изд. 2-е, УРСС, М. 2009.
3. В. Босс, Лекции по математике, том 7, Оптимизация,изд. 3-е, УРСС, М. 2010.
4. В. Босс, Лекции по математике, том 15, Нелинейные операторы и неподвижные точки, УРСС, М. 2010.