Дополнительные главы теории вероятностей и основы математической статистики

Содержание дисциплины: 

1. Аксиоматика теории вероятностей

Вероятностные модели с конечным и счетным числом исходов. Основные понятия элементарной теории вероятностей. Сигма-алгебры и измеримые пространства. Вероятностные пространства. Основы теории меры.

2. Методы статистического вывода, построение доверительных интервалов, проверка гипотез.

3. Измеримые функции (случайные величины) и виды сходимости их последовательностей. Конструкция интеграла Лебега. Абсолютная непрерывность мер. Теорема Радона-Никодима. Замена переменных в интеграле Лебега. Теорема Фубини.

4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема о сходимости мажорируемой последовательности. Равномерная интегрируемость. Необходимые и достаточные условия для предельного перехода под знаком интеграла Лебега.

5. Условные математические ожидания и их свойства. Условные математические ожидания и условные вероятности. Определения. Основные свойства.

6. Теория мартингалов. Определения. Неравенства для мартингалов. Сходимость полумартингалов. Моменты остановки, сохранение мартингального свойства

7. Фильтр Калмана, дискретное время. Прогнозирование случайного процесса.

Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:

В результате освоения дисциплины обучающиеся должны знать:

• аксиоматику современной теории вероятностей;
• методы оценивания параметров вероятностных распределений;
• построение доверительных интервалов;
• статистические выводы, проверка гипотез;
• линейная и полиномиальная регрессия;
• понятие измеримой функции (случайной величины) и виды сходимости их последовательностей;
• основы теории меры и интеграла Лебега;
• теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега;
• условные математические ожидания и их свойства;
• основные понятия теории мартингалов,
• методы фильтрации для линейных моделей случайных процессов;
• делать правильные выводы из сопоставления результатов теории и эксперимента;
• алгоритмизировать процесс построения математической модели явления;
• делать качественные выводы по результатам математического моделирования;
• получать наилучшие оценки изучаемых параметров и правильно оценивать степень их достоверности;
• владеть: навыками освоения большого объема информации;
• навыками грамотной обработки результатов опыта и сопоставления с теоретическими данными;
• практикой исследования и решения теоретических и прикладных задач;
• навыками теоретического анализа вероятностных процессов.

Перечень контрольных вопросов:

1) Определения вероятностного пространства и случайной величины.

2)Функция распределения случайной величины и ее свойства.

3) Характеристическая функция ее свойства

4) Оценки среднего и дисперсии случайной величины

5) Сходимость последовательности случайных величин по вероятности. Примеры.

6) Сходимость последовательности случайных величин с вероятностью единица. Примеры.

7)Связь сходимости последовательности случайных величин по вероятности и с вероятностью единица. Примеры.

8)Интеграл Лебега от простых функций. Общее определение интеграла Лебега.

9)Абсолютная непрерывность мер. Теорема Радона-Никодима.

10)Замена переменных в интеграле Лебега. Теорема Фубини.

11)Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

12)Лемма Фату.

13) Условные математические ожидания и условные вероятности. Определения. Основные свойства.

14) Мартингалы и полумартингалы. Примеры.

15) Неравенства для мартингалов.

16) Остановленные мартингалы, тождества Вальда.

17) Квадратично интегрируемые мартингалы.

18) Сходимость мартингалов.

19) Фильтр Калмана.

20) Прогнозирование случайных последовательностей.